Dua Buah Papan Permainan Dirangkai Jadi Satu | Pertama

Pada kesempatan ini akan disajikan "bentuk" Papan-permainan yang agak "unik". Dasarnya adalah Papan yang berukuran (8x8). Kemudian ada 8 (delapan) buah petaknya dibuang. Petak-petak yang dibuang adalah : a4, a5, d1, d8, e1, e8, h4, dan h5. Bentuk Papan yang demikian ini, kita sebutkan saja sebagai Papan (8x8)-8. Untuk lebih jelasnya, lihat gambar-1 berikut ini.
Ada 56 buah petak, masing-masing 28 buah petak berwarna "Abu-abu" dan 28 buah petak berwarna "Putih".Jadi, petak-petak yang berwarna abu-abu dan putih, jumlahnya sama.

Jejak Langkah Kuda yang dapat terjadi pada Papan seperti diatas merupakan jejak langkah kuda yang membentuk "Lintasan-Kontinya". Sehingga dengan demikian, dapat pula berupa "Lintasan-Diskontinyu". Akibatnya, bebas kita memilih "Petak Start". Dan, sudah pasti bahwa warna petak Start berbeda dengan warna petak Finish.

Andaikan kita memilih petak-a3 (petak yang berwarna "Abu-abu") sebagai petak Start. Maka petak Finishnya pasti di petak-petak yang berwarna "Putih". Lintasan jejak langkah kuda akan "kontinyu" bilamana Finish di petak-petak : b1, b5, c2, dan c4. Kalau Finish dipetak yang lain, disebut "diskontinyu".

Berikut, kita coba membuat "jejak langkah kuda" yang mungkin terjadi pada papan tersebut jika Start dari petak-a3. Lihat gambar-gambar berikut ini :

Dari gambar yang telah kita buat diatas, ditemukan petak-c8 sebagai petak Finishnya. Lintasan yang terjadi merupakan "Lintasan-Diskontinyu". Selanjutnya, petak Finish dapat dipindahkan ke "petak-e4" dengan cara mempertukarkan langkah-langkah kuda tersebut (dalam hal ini : 40-56, 41-55, 42-54, 43-53, 44-52, 45-51, 46-50, 47-49, 48 tetap di petak-b5). Hasil seperti gambar berikut : 

Jejak Langkah Kuda yang di"lukiskan" diatas, masih berupa Jejak Langkah Kuda yang "Diskontinyu". Start dari petak-a3 dan Finish di petak-e4. Dari gambar diatas, petak Finish dapat dipindahkan dari petak-e4 ke petak-c4 sehingga dengan demikian terjadilah "Lintasan-Kontinyu". Caranya ? Sama yang telah kita lakukan diatas, yaitu dengan mempertukarkan petak-petak untuk langkah kuda berikut :  34-56, 35-55, 36-54, 37-53, 38-52, 39-51, 40-50, 41-49, 42-48, 43-47, 44-46, 45 tetap di petaknya (petak-b6). Dengan demikian, diperoleh gambar berikut ini :  

Gambar yang terahir ini memberikan gambaran tentang Jejak Langkah Kuda yang membentuk Lintasan-Kontinyu pada papan permainan yang berukuran (8x8)-8.
Kalaupun banyak waktu luang, dapat kita membuat Solusi jejak langkah kuda pada papan ini, yang jumlahnya minimal 3136 macam solusi (56 x 28 x 2 = 3136).

Cobalah petak-petak yang lainnya (selain petak-a3) sebagai petak Start. dan temukanlah jejak langkah kuda yang membentuk lintasan-kontinyu maupun lintasan-diskontinyu. Sekali lagi perlu diingatkan bahwa Semua Petak pada Papan semacam ini dapat dijadikan sebagai petak Start. Dan, warna petak Start selalu beda dengan warna petak Finish. Buatlah solusi sebanyak mungkin, minimal 3136 macam solusi ....... hehehehe ...... (Kalau Bisa, bro).

Hingga disini dulu perjumpaan kita kali ini. Sampai jumpa lagi dilain waktu, Insya Allah.

Wassalam. 

Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib | Lanjutan

Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan catur yang berukuran (8x8), yang disajikan sebelum ini, merupakan jejak langkah kuda-catur yang "cukup unik". Angka-angka yang "menandai langkah" kuda, jika dijumlahkan secara mendatar hasil sama dengan 260 disetiap barisnya. Demikian pula, jika dijumlahkan secara menurun hasilnya sama dengan 260 disetiap kolomnya. Hal ini telah ditunjukkan melalui gambar-1 s/d gambar-4 pada postingan sebelum ini. Hanya saja, angka-angka langkah kuda pada gambar-4, sengaja saya tidak lengkapi dengan harapan rekan-rekanlah yang dapat melengkapinya. Coba dilihat kembali post tersebut, dan tentukanlah petak-petak untuk langkah ke-33 s/d langkah ke-48. Setelah itu, cocokkanlah "hasilnya" dengan yang berikut ini : 

Berikut ini, gambar-5 pada post yang lalu, akan disajikan kembali untuk menjelaskan JEJAKA-AJAIBnya. (Jejaka = Jejak Langkah Kuda). Mengingat gambar tersebut tidak memperlihatkan Jejaka-Ajaib. Semoga membantu rekan-rekan yang mengikuti Blog ini. 
Gambar-5 pada post yang lalu akan menjadi seperti berikut ini : 

                                                                        

Bagaimana ? Apakah info ini sudah bisa memberikan "gambaran" yang jelas ? Silakan berikan komentarnya.

Kalo demikian, dicukupkan hingga disini dulu. Dilanjutkan pada kesempatan berikutnya.

Wassalam.

Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu dapat membentuk Lintasan Kontinyu (disebut juga : Siklus Hamilton, atau Closed Knight's Tour), dan dapat juga membentuk Lintasan Diskontinyu (disebut juga : Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1. Untuk petak Finish ditandai dengan angka yang sama bilangannya dengan jumlah petak pada papan permainan. Pada papan (8x8), dipakai "angka 64" untuk menandai petak Finish (sebab : 8x8 = 64). Dengan demikian, pada papan (8x8) dipakai angka 1 sampai angka 64 untuk menandai petak-petak yang dikunjungi oleh Kuda Catur sebagai rangkaian perjalanannya berkelana diatas papan.
Bila diamati, dari sekian banyak Solusi Perjalanan Langkah Kuda diatas papan tersebut, terdapat minimal 120 Solusi yang mengahsilkan Jejak Langkah Kuda "Yang Ajaib". Dikatakan Ajaib karena "angka-angka" dari Jejak Langkah Kuda menghasilkan Jumlah yang sama disetiap barisnya maupun disetiap kolomnya. Jadi, jumlah angka-angka yang mendatar sama dengan jumlah angka-angka yang menurun. 
Beriku ini akan ditunjukkan Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan yang berukuran (8x8). Pada gambar-1, perjalanan Kuda dimulai dari petak-a1 dan berahir di petak-c8. Dapat dilihat bahwa angka-angka langkah kuda, baik yang mendatar maupun yang menurun, jumlahnya sama, masing-masing berjumlah 260. Angka ini (yaitu 260) disebut saja sebagai "Angka Ajaib".

Pada gambar-2, perjalanan Kuda tetap berawal Start dari petak-a1 namun petak Finishnya di petak-h3. Berbeda dengan yang ditunjukkan pada gambar-1. Coba perhatikan baik-baik.
Pada gambar-3, perjalanan langkah kuda dimulai Start dari petak-b1 dan berahir di petak-c8.
Pada gambar-4 berikut ini, petak-c1 dijadikan sebagai petak Start dan petak-a8 sebagai petak Finish.
Selanjutnya, jika langkah kuda Start dari petak-d1, ditunjukkan pada gambar-5 dan gambar-6.

Angka-angka yang diletakkan disisi kanan dan disisi atas papan (8x8), diluar garis papan-permainan, adalah angka-angka yang menyatakan "Jumlah angka-angka" pada setiap barisnya dan disetiap kolomnya.

Angka ajaib (=260) diperoleh dengan cara sebagai berikut :

• Jumlah angka-angka :  1 + 2 + 3 + .... + 64 = 2080. Bisa juga dihitung cepat : 65 x 32 = 2080. (Artinya : 64 + 1 = 65, 63 + 2 = 65, 62 +3 = 65, 61 + 4 = 65, ........ , ........ , .... dan seterusnya, sampai 33 + 32 = 65. Jadi, ada 32 angka 65 yang diperoleh).
• 2080 dibagi 8, (angka 8 = jumlah baris papan = jumlah kolom papan), hasilnya sama dengan 260.

Sampai disini dulu jumpa kita kali ini, dilain waktu dan kesempatan akan disambung kembali. Semoga apa yang sempat disampaikan ini dapat bermanfaat.

Sampai jumpa. Wassalam.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x8)

Jejak Langkah Kuda yang terjadi pada papan (8x8) dapat membentuk Lintasan-Kontinyu dan secara otomatis dapat pula berupa Lintasan-Diskontinyu. Berikut ini akan kita coba melihat jejak langkah kuda yang membentuk Lintasan-Diskontinyu. Lihat gambar-1. Start dari petak-d1. Kuda yang dimainkan, melangkah menyusuri sisi-kiri papan permainan keatas lalu kekanan terus turun lagi sampai ke petak-c3 (langkah ke-16).

Selanjutnya, petak untuk langkah ke-17, dapat dipilih : petak-a2, petak-b1, petak-b5, ataukah petak-e2. Gambar-2 diatas. Semua petak-petak yang dapat dikunjungi oleh kuda, sebagai langkah ke-17, dapat memberikan solusi. Lihat gambar-3 s/d gambar-6 berikut ini :

Dari gambar-3 s/d gambar-6 yang diberikan diatas, dari langkah-kuda ke-32 sudah dapat dilanjutkan ke langkah kuda yang ke-33 sampai ke langkah-64 (Finish). Contohnya, lihat gambar-7 dan gambar-8 dibawah ini.  Jejak langkah kuda yang terjadi disini membentuk Lintasan-Diskontinyu.

Masih banyak contoh-contoh yang lainnya, tidak memungkinkan untuk dimuat disini karena keterbatasan waktu dan halaman. Nanti pada kesempatan yang akan datang, akan disajikan lagi disini. Namun, sebelum itu, ada yang menarik untuk diperhatikan pada gambar-7 diatas. Sekiranya langkah ke-58, tidak ke petak-e3 tetapi ke petak-a3, maka 59b1, 60d2, 61f1, 62h2, 63g4, 64e3 (Finish). Sehingga dengan demikian terjadi "Lintasan-Kontinyu". Lihat gambar-9 berikut ini : 
 

Sebelum berpisah, untuk kembali bertemu pada pembahasan berikutnya, diberikan Solusi Jejak Langkah Kuda seperti pada gambar-10 dan gambar-11 berikut ini.  Disini, papan (8x8) dipandang sebagai gabungan papan (5x8) dan papan (3x8). Langkah kuda dari petak Start (langkah ke-1) sampai langkah ke-40, berada pada papan (5x8). Langkah ini dapat dibuat Kontinyu ataupun diskontinyu. Perhatikan : 1e1 dan 40d3 yang Kontinyu pada gambar-10. Sedangkan 1e1 dan 40e2 yang Diskontinyu  pada gambar-11. 

kemudian, langkah ke-41 sampai Finish (langkah ke-64) dilanjutkan ke papan (3x8). Langkah-langkah kuda yang "tetap" (tidak ada pilihan lain) dicantumkan pada gambar tersebut, dan langkah-langkah kuda yang punya alternatif tidak dicantumkan pada gambar. Misalnya, langkah ke-47 pada gambar-10, bisa ke petak f6, atau bisa juga ke petak-h6.  Untuk itu, silakan Rekan2 yang melanjutkannya sendiri. Ahirnya,  dari  contoh yang terahir diatas, dapat disimpulkan bahwa  Jejak Langkah Kuda yang terjadi menggambarkan jejak langkah kuda yang membentuk "Lintasan-Kontinyu". 

Sekian dulu, sampai nanti. Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x8)

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Tidak terasa, kita sudah sampai kebentuk Papan Permainan yang berukuran (8x8), yaitu bentuk papan yang umum dipakai oleh Pemain Catur. Papan (8x8) adalah papan yang terdiri atas 64 petak persegi, yang tersusun menjadi 8 kolom (kolom-a s/d kolom-h) dan 8 baris (baris-1 s/d baris-8). Bagaimana Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x8) ? Tentu saja akan semakin rumit dan terkadang ada beberapa buah petak yang tidak dapat dikunjungi oleh Kuda. Hal ini, disebabkan oleh karena semakin banyaknya petak-petak pada papan yang memungkinkan untuk dikunjungi oleh Kuda. Oleh karena itu, sebaiknya menggunakan beberapa metode untuk solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (8x8).

Sebelum membicarakan metode tersebut, ada baiknya kita lihat dulu gambar-1 dan gambar-2 berikut ini yang menggambarkan Jejak Langkah Kuda pada papan (8x8). Yang diperlihatkan pada gambar ini adalah salah satu dari sekian ratus (bahkan ada sekian ribu) solusi jejak langkah kuda yang dapat terjadi pada papan (8x8).

Jejak Langkah Kuda yang diperlihatkan diatas adalah jejak langkah kuda yang menyebar disepanjang sisi papan permainan berukuran (8x8). Yang terkadang menyulitkan langkah kuda pada papan ini adalah belum dikunjunginya petak-petak yang diberi tanda (?). Lihat gambar-1. Sebaiknya langkah ke-13 jangan ke petak-c1 tetapi ke petak-c5 atau ke petak-d4, yaitu kepetak yang diberi tanda (?) digambar-1, sehingga dengan demikian, petak-petak "yang harus dikunjungi" oleh Kuda pada "tahap-pertama" selesai dikunjungi semuanya. Langkah ke-1 (Start) sampai langkah ke-32 dianggap sebagai Langkah Tahap Awal atau Langkah Tahap Pertama. Perhatikan gambar-2. Jika "pola langkah kuda" sudah nampak seperti pada gambar-2, dalam hal ini, setiap "angka" langkah kuda sudah berpasang-pasangan, maka akan memudahkan kita mencari solusi langkah kuda pada papan semacam ini. Selanjutnya, langkah kuda yang ke-33 (lanjutan dari langkah ke-32) bisa ke petak-b2 atau ke petak-f2. Dengan mudahnya kuda sudah dapat menyelesaikan langkahnya hingga Finish di petak yang berwarna Putih (karena Start dari petak yang berwarna Biru).

Metode mencari solusi langkah kuda pada papan (8x8)

Ada banyak metode yang dapat dilakukan. Diantaranya adalah "metode-bedah". Yang dimaksudkan "metode-bedah" adalah membagi/memotong papan permainan menjadi papan-papan yang ukurannya lebih kecil sehingga langkah kuda yang dapat terjadi dapat dikontrol dengan mudah.

Papan permainan yang berukuran (8x8) dapat dipandang sebagai gabungan beberapa papan yang berukuran sebagai berikut :

• 2 buah papan yang berukuran (8x4), atau (4x8). Lihat gambar-3 dan gambar-4.
• 2 buah papan yang masing-masing berukuran (8x3) dan (8x5), atau (3x8) dan (5x8). Lihat gambar-5 dan gambar-6.
• 4 buah papan yang terdiri dari 2 buah papan (4x3) dan 2 buah papan (4x5). Lihat gambar-7 s/d gambar-12.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (8x8) akan terasa lebih mudah jika dilakukan sesuai dengan "Metode Bedah" ini. Sebagai contoh, solusi jejak langkah kuda seperti berikut ini :

Dan masih ada metode lainnya yang akan disajikan nanti pada post yang akan datang. Semoga apa yang sudah disajikan pada kesempatan ini dapat bermanfaat buat rekan-rekan yang sempat mengikuti permainan ini.

Sampai jumpa lagi, wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x7) | Lanjutan

Pada pembahasan yang lalu telah disajikan beberapa cara mencari Jejak Langkah Kuda pada papan (8x7). Agar bisa lebih jelas, akan kita lanjutkan pembahasan tersebut sekaligus melengkapinya.

Papan permainan kita yang berukuran (8x7), dapat "dipotong" secara Horizontal atau Vertikal sesuai keperluan/kebutuhan kita menjadi 2 bagian. Jika "dipotong" secara Horizntal, akan menjadi : Papan (8x4) dan Papan (8x3). Lihat gambar-1 dan gambar-2 berikut ini : 

Jika "dipotong" secara Vertikal akan menjadi : 

• 2 bagian, masing-masing menjadi Papan  (4x7). Lihat gambar-3.
• 1 bagian Papan (3x7) dan 1 bagian Papan (5x7). Lihat gambar-4 dan gambar-5. 

Klik gambar untuk Zoom.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada papan-papan : (3x7), (4x7), (5x7), sama saja dengan solusi jejak langkah kuda pada papan-papan : (7x3), (7x4), (7x5). Untuk itu, ada baiknya dilihat kembali "sajian" yang lalu.

Semoga Jejak Langkah Kuda yang diberikan pada gambar diatas, sudah dapat Anda teruskan.
Insya Allah, kalau tiada arak merintang, jumpa lagi besok.

Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x7)

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Papan (8x7) mempunyai 56 buah petak yang terdiri dari 28 petak Biru dan 28 petak Putih. Karena jumlah petak Biru dan petak Putih sama, maka warna petak Start pasti "beda" dengan warna petak Finish. Papan ini diperlihatkan pada gambar-1.

Jejak Langkah Kuda yang terjadi pada papan (8x7) membentuk Lintasan-Kontinyu. Karenanya, dapat pula dibuat Lintasan-Diskontinyu. Jika Kuda Start dari Petak-Biru, akan Finish di Petak-Putih. Lihat gambar-2 dan gambar-3.  

 
Pada gambar-1 diperlihatkan Papan Permainan kita yang berukuran (8x7) dan Jejak Langkah Kuda pada papan tersebut yang membentuk Lintasan-Diskontinyu. Jika langkah ke-44 ke petak-d3 (menggantikan posisi langkah ke-56) - Berarti  44d3 - seterusnya : 45c5, 46e6, 47d4, .... , maka akan Finish di petak-c2. Akibatnya, terbentuk Lintasan-Kontinyu. Perhatikan diagram langkah kudanya pada gambar-2.

Papan yang berukuran (8x7) dapat pula dipandang sebagai "2 buah Papan (4x7) yang dijadikan satu membentuk Papan (8x7). Dengan demikian, papan (8x7) dapat dibagi 2, masing-masing menjadi papan yang berukuran (4x7). Lihat gambar-3. Jejak langkah kuda, mulai dari petak Start ( 1a1 ) sampai langkah ke-28, (dalam hal ini  28d5) "berada" pada papan (4x7) yang pertama / sebelah kiri. Selanjutnya, langkah kuda diteruskan ke papan (4x7) yang kedua / sebelah kanan. Dalam hal ini, langkah ke-29 dapat menempati petak-e7 atau petak-e3 (karena 28d5). Warna petak-e7 maupun petak-e3 sebagai "tempat" langkah ke-29 (sebagai "Langkah START"pada papan (4x7) yang kedua), adalah warna Biru. Akibatnya, langkah ke-56, sebagai Langkah FINISH, pastilah warnanya "beda" dengan warna petak-e7/petak-e3, dalam hal ini langkah ke-56 pasti di PETAK-PUTIH (petak-petak : e2, e4, e6, h1, h3, h5, dan atau h7). Selanjutnya perhatikan gambar-3.

Berikut, Papan (8x7) dapat pula dipandang sebagai "gabungan papan (8x4) dan papan (8x3)" atau sebaliknya "gabungan papan (8x3) dan papan (8x4). Sehingga Solusi Jejak Langkah Kuda dapat dikerjakan sesuai ukuran papan yang diinginkan. Perhatikan gambar-4 s/d gambar-7 berikut :  

 Gambar-4 dan gambar-5 memperlihatkan "potongan" Papan (8x7) yang terdiri atas Papan (8x4) dan Papan (8x3). Langkah ke-1 (Start) sampai langkah ke-32 ada pada papan (8x4) dan langkah ke-33 sampai langkah ke-56 (Finish) berada pada papan (8x3). Disini : 1a4 seterusnya sampai 32b4. Selanjutnya, diperkenankan hanyalah 33a6 dan 33d5. Tidak diperbolehkan 33c6. Kalau 33a6 maka petak Finish (langkah ke-56) kemungkinannya pada petak-petak Biru, seperti ditunjukkan gamvar-4. Dan, kalau 33d5 maka petak Finish (langkah ke-56) kemungkinannya pada petak-petak Biru seperti yang ditunjukkan gambar-5.

Gambar-6 dan gambar-7 memperlihatkan "potongan" Papan (8x7) yang terdiri dari Papan (8x3) dan Papan (8x4). Langkah ke-1 sampai langkah ke-24 ada pada papan (8x3) | papan bagian bawah. Seterusnya, langkah ke-25 sampai Finish (langkah ke-56) ada pada papan (8x4) | papan bagian atas.

Untuk melengkapi pemahaman kita, buka kembali "Pembahasan" yang telah disajikan pada postingan lalu ......

Hingga disini dulu jumpa kita kali ini. Sampai jumpa lagi. Insya Allah.

Wassalam.