Jejak Langkah Kuda pada Papan (6x5)

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton, Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Sekarang, akan kita lihat Bagaimana Langkah Kuda pada papan (6x5), yaitu papan (catur) yang terdiri dari 30 buah petak-persegi yang disusun menjadi 6 kolom (kolom-a s/d kolom-f) dan 5 baris (baris-1 s/d baris-5). Lihat gambar-1.
Disini, jumlah petak Biru sama dengan jumlah petak Putih, masing-masing 15 buah petak. Karena itu, Warna petak Start tidak akan sama warna petak Finish. Jika Start dari petak Putih, akan Finish dipetak Biru. Demikian pula sebaliknya. Jika Start dari petak-a1 (petak Biru), akan Finish dipetak Putih mana saja yang diinginkan (dapat dipilih sesuai keinginan). Jadi, Jejak Langkah Kuda pada papan (6x5) akan membentuk Lintasan-Kontinyu. Karenanya, semua petak dapat dijadikan sebagai petak Start. Lihat gambar-2 dan gambar-3.

Pada kesempatan yang akan datang, akan kita lihat pula, apakah pada papan semacam ini akan terjadi Jejak Langkah Kuda yang ajaib ?

Pada gambar-2 : Petak a1 sebagai petak Start. Petak Finish, bisa dipetak a4 atau dipetak d3, tergantung petak no.28 yang kita pilih. Dan, kurang lengkap rasanya kalau tidak diberikan Quiz diedisi ini. Quiznya adalah : Coba dicari Jejak langkah Kuda yang dapat Finish dipetak c2 (yg membentuk Lintasan-Kontinyu / Closed Knight's Tour) ? Gunakan gambar-3 untuk menemukannya.

Hingga disini jumpa kita kali ini, sampai jumpa. Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (5x5).

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Papan (5x5) adalah papan (catur) yang memuat petak-petak persegi menjadi 5 kolom (kolom-a s/d kolom-e) dan 5 baris (baris-1 s/d baris-5). Dengan demikian, terdapat 25 petak, yaitu 13 petak-biru dan 12 petak-putih seperti yang nampak pada gambar-1 dibawah.

Jejak Langkah Kuda pada papan yang berukuran (5x5) membentuk Lintasan-Diskontinyu. Akibatnya, tidak semua petak yang ada pada papan tersebut dapat dijadikan sebagai petak Start. Solusi ada jika kita benar memilih petak Start-nya. Pada petak seperti contoh yang diberikan disini, petak Start haruslah  di petak yang berwarna Biru (karena petak inilah yang terbanyak, ada 13 petak). Dan, oleh karena jumlah petak Biru dan Putih tidak sama, maka Warna Petak Start akan sama dengan Warna Petak Finish.
Mari kita lihat Jejak Langkah pada papan (5x5) :

                                       Untuk memperbesar gambar, silakan Klik Gambar.

Dalam hal ini, ada dua poin yang perlu dicatat, yaitu :

1. Jika Start dari petak-petak biru disisi papan (5x5), (yaitu petak-petak : a1, c1, e1, e3, e5, c5, a5, dan a3), maka petak Finish bebas dipilih (petak Biru yang mana saja disukai/diinginkan). Perhatikan gambar-2.1. diatas.
2. Jika Start nya bukan pada petak yang telah disebutkan pada poin 1) diatas, maka Finish selalu di Petak Sudut Papan, yaitu dipetak-petak : a1, a5, e1, atau e5. Perhatikan gambar-2.2. dan gambar-2.3. diatas.

Selanjutnya, muncul pertanyaan : Apakah dapat pula terjadi Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan semacam ini, seperti halnya pada papan-papan yang telah disajikan ? 
Pertanyaan ini akan dijawab pada pembahasan berikutnya di Blog ini. Namun, sebelum itu, tentu saja kepada Rekan-Rekan (yang telah mengikuti Blog ini) sudah punya jawabannya, boleh anda berbagi disini lewat komentar dibawah .......

Kiranya,  sampai  disini dulu jumpa kita. Maaf kalau ada salah kata yang tidak berkenan dihati. Semoga jumpa ini membawa manfaat.

Sampai jumpa. Wassalam.

Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada Papan (8x4) | Lanjutan.

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Lintasan Bolak-Balik, Siklus Hamilton, Closed Knight's Tour), atau bisa juga membentuk Lintasan-Diskontinyu (Bukan Bolak-Balik, Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Yang akan disajikan pada kesempatan ini, merupakan Lanjutan pembahasan Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib, yang telah disajikan 21 Februari 2014. Pada pembahasan yang lalu, Rekan-Rekan yang mengikuti Blog ini, semuanya diajak untuk memulai Langkah Kuda Yang Ajaib itu dengan petak Start dari a1, karena contoh yang diberikan adalah Start dari petak b1, c1, dan d1.
Saya yakin, rekan-rekan sudah menemukan Lintasan Kuda yang dimaksud. Dan, kalaupun masih ada yang belum menemukannya, akan saya berikan Lintasan itu melalui gambar berikut. Perlu dicatat bahwa Jumlah angka-angka jejak langkah kuda disetiap baris papan (8x4) sama semua, masing-masing sama dengan 132. Cobalah teliti dengan baik.

Klik saja gambarnya untuk Zoom. Gambar-1 dan gambar-2, memperlihatkan Langkah Kuda Yang Ajaib. Dikatakan ajaib karena Langkah-langkah itu, yang ditandai dengan angka-angka, menghasilkan angka-angka dengan jumlah-mendatar yang unik. Jumlah mendatar sama untuk setiap baris, yaitu masing-masing 132 (lihat angka-merah disisi kanan papan).

Sebetulnya, masih banyak Solusi lainnya yang menghasilkan Jejak Langkah Ajaib. Ada puluhan, bahkan diperkirakan ada ratusan solusi. Namun karena keterbatasan halaman dan waktu/kesempatan maka dengan sangat terpaksa, pembahasan ini akan dimuat secara berkala atau berseri.Semoga dimaklumi.

Akhirnya, kembali kita akhiri hingga disini untuk dilanjutkan ke post berikutnya. Semoga jumpa kita ini bermanfaat. Sampai Jumpa.

Wassalam. 
 

 

Jejak Langkah Kuda diberbagai bentuk papan | Lanjutan.

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.
Sekarang, kita lanjutkan pembahasan yang kemarin tentang Jejak Langkah Kuda untuk berbagai bentuk papan. Kemarin, telah disajikan jejak langkah kuda pada papan (5x4) dan papan (6x4).

[3] Jejak Langkah Kuda pada papan (7x4) :

• Jumlah petak Putih sama dengan jumlah petak Biru, masing-masing 14 petak. Akibatnya : Warna petak Start beda dengan warna petak Finish.
• Jejak Langkah Kuda yang terjadi membentuk Lintasan-Diskontinyu, atau biasa juga disebut "Lintasan Tidak Bolak-Balik". Nama lainnya adalah : Lintasan Hamilton, atau Open Knight's Tour atau "Knight's Move". Akibatnya : Tidak semua petak yang ada pada papan ini dapat dijadikan sebagai petak Start.

• Solusi ada jika Start dari petak-petak di baris-1 dan baris-4 saja. Ternyata, petak Finish pun ada dibaris-baris itu. Hanya berbeda warna petaknya. Misalnya, Start dari petak a1, akan Finish di petak-petak : b1, d1, f1, a4, c4, e4, dan g4. Ada 7 buah petak Finishnya. Berikut disajikan gambarnya :   

 Pada gambar diatas, dipilih 4 cantoh Jejak Langkah Kuda dari sekian banyak solusi yang ada, disini  semuanya Start dari petak-a1. Dari ke-4 contoh tersebut, semuanya memberikan solusi karena "pola" jejak langkah kudanya sudah BERSUSUN (perhatikan gambar pertama bahwa angka-angka 1 dan 8, 2 dan 9, 3 dan 10, dst. telah bersusun/tidak berderet. Pada gambar kedua : 1 dan 4, 2 dan 5, 7 dan 14, dst, telah bersusun pula. Pada gambar ketiga : 1 dan 4, 3 dan 6, 10 dan 13, dst, juga telah bersusun. Demikian pula pada gambar keempat : telah bersusun pula angka-angka 1 dan 8, 2 dan 9, 3 dan 10, dan seterusnya). Hanya dengan POLA yang demikian itu akan memberikan SOLUSI.

[4] Jejak Langkah Kuda pada papan (7x4)-4 : 

     

     Jika "petak-petak sudut" pada papan (7x4) dibuang/ditutup (tidak digunakan), dalam hal ini ada 4 buah petak-sudut, yaitu a1, a4, g1, dan g4, maka jadilah bentuk papan (7x4)-4. Akibatnya  adalah sebagai berikut : 

• Jejak Langkah Kuda yang terjadi membentuk Lintasan Kontinyu, sehingga dengan demikian SEMUA PETAK pada papan tsb DAPAT DIJADIKAN sebagai PETAK START.
• Karena Lintasannya Kontinyu, secara otomatis dapat pula membentuk Lintasan-Diskontinyu.

Berikut akan disajikan gambar salah satu contoh jejak langkah pada papan (7x4)-4. Yang lainnya, Anda boleh coba sendiri untuk Latihan.

  Gambar pertama dan ketiga membentuk Lintasan-Kontinyu (Lintasan Bolak-Balik). Gambar kedua dan keempat membentuk Lintasan-Diskontinyu.

Sekian dulu Jumpa kita kali ini. Dilain kesempatan, dilanjutkan kembali. Insya Allah.  

Wassalam. Sampai jumpa.

Jejak Langkah Kuda di Berbagai Bentuk Papan.

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.
Berikut, akan disajikan Jejak Langkah Kuda dibeberapa Bentuk Papan.

[1] Pada Papan (5x4) :

• Jumlah petak Putih dan Biru, sama, masing-masing ada 10 petak.
• Warna petak Start beda dengan warna petak Finish.
• Jejak Langkah Kuda membentuk Lintasan-Diskontinyu (tidak bolak-balik) sehingga tidak semua petak pada papan ini dapat dijadikan sebagai petak Start. Solusi ada jika petak start berada di baris-1 dan baris-4. Dan, ternyata petak Finish pun berada pada petak-petak di baris-1 dan baris-4. Lihat gambar berikut : 
  
   Gambar diatas, jika Start dari petak a1 (petak a di baris-1). Tidak ada solusi jika start dari a2 dan a3. Dan berikut, jika Start dari petak b1 : (langkah ke-2 jangan ke c3. ???)
  
  
  
  Dapat dilihat disini, bahwa hanya ada 3 petak Finish jika Start dari petak b1, yaitu a1, d4 dan e1. Kemudian, jika Start dari petak c1, hanya ada 2 petak Finish, yaitu : a4 dan e4 saja.  Boleh dicoba untuk membuktikannya. 
  
• Jika diinginkan Lintasan-Kontinyu, petak-petak sudut pada papan (5x4) dibuang/ditutup/tidak dipake, dalam hal ini petak-petak : a1, a4, e1, dan e4.

[2] Pada Papan (6x4) :

• Jumlah petak Biru sama dengan jumlah petak Putih. Masing-masing ada 12 petak.
• Warna petak Start beda dengan warna petak Finish.
• Jejak Langkah Kuda membentuk Lintasan-Diskontinyu. Karenanya tidak dapat semua petak yang ada pada papan ini dijadikan sebagai petak Start.
• Solusi ada hanya jika petak Start ada di baris-1 dan baris-4 saja. Petak Finish pun ada dibaris tersebut. Mari kita periksa gambar berikut :
  
  Perlu digaris bawahi bahwa angka-angka langkah kuda perlu diatur sedemikian rupa agar ada Solusi - jangan sekedar melangkah. Pola yang pertama, angka 1 dan 12, angka 2 dan 7, dst, nampaknya BERDERET akibatnya TIDAK ADA SOLUSI. Dan Pola yang kedua, angka 1 dan 12, angka 2 dan 7, angka 3 dan 8, dst, nampaknya BERSUSUN akibatnya ADA SOLUSI.          Pada gambar terahir, jika Start dari petak a1 maka Finish dipetak-petak Putih baris-1 dan 4.

Untuk sementara, sampai disini dulu jumpa kita. Kiranya pertemuan kita kali ini memberikan manfaat.

Pada pertemuan yang akan datang, akan dibahas Jejak Langkah Kuda pada Papan (7x4) dan  beberapa Bentuk yang lainnya. Insya Allah.

Wassalam. Sampai Jumpa.

Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada Papan (8x4).

Papan (8x4) adalah papan (catur) yang mempunyai 32  petak persegi, seperti yang telah dibahas pada post kemarin. Dengan demikian, pada papan tersebut digunakan angka 1 s/d 32 untuk menandai Jejak Langkah Kuda. Dalam hal ini, langkah kuda dari petak ke petak, tak pernah berulang kepetak yang telah dilaluinya. Setiap petak dilaluinya hanya sekali saja.
Bila angka-angka jejak langkah kuda tersebut dijumlahkan, yaitu : 1 + 2 + 3 + .. +32, maka hasilnya = 528. Kemudian hasil itu dibagi 4, diperoleh = 132. Nah, sekiranya angka-angka jejak langkah kuda pada papan (8x4) dapat memberikan hasil-jumlah setiap barisnya- sebesar 132 maka jejak itulah yang disebut Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib. Lihat gambar-gambar dibawah.
Namun, sebelum saya berikan Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan (8x4), akan didahului dengan Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan (8x3), jumlah angka-angka setiap barisnya = 100, karena sudah disajikan disini minggu lalu sebagai Quiz. Semoga Rekan-Rekan yang sempat mengikuti Quiz tersebut, sempat menemukan hasilnya dan sekaligus bisa dicocokkan dengan yang ada disini. Ini Jawabannya (Star dari petak c1 dan Finish dipetak h3) :

Jumlah angka-angka pada baris 1, 2, dan 3, semuanya sama yaitu = 100. Karenanya, langkah kuda tersebut dinamakan Ajaib.
Nah kita lanjutkan. Berikut ini akan disajikan beberapa gambar yang memperlihatkan Jejak Langkah Kuda yang Ajaib pada papan (8x4). Jumlah angka-angka disetiap barisnya sama yaitu masing-masing 132. Coba diteliti sendiri gambar-gambar itu. Sengaja saya berikan yang berbeda petak Startnya. Dan adapula yang petak Start dan Finishnya sama, tapi, langkah kudanya berbeda.

Klik gambar untuk Zoom. Dan buat Rekan-Rekan yang mau coba Jejak Langkah yang ajaib, cobalah dengan petak Star dari petak-a1. Insya Allah, akan kita lanjutkan di Edisi berikutnya.
Semoga bermanfaat. Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x4).

Bermain dengan "Pelaku" (Permainan Langkah Kuda), tidak terasa waktu berlalu begitu cepat. Saat ini kembali kita berada disini untuk melihat Jejak Langkah Kuda pada papan (8x4). Papan yang dimaksud adalah papan (papan catur) yang memuat 32 buah petak-persegi, yang disusun sedemikian rupa menjadi 8 kolom (kolom-a s/d kolom-h) dan 4 baris (baris-1  s//d baris-4). Lebih jelasnya, papan yang dimaksud, akan dinampakkan seperti gambar berikut ini :

Jejak Langkah Kuda pada papan (8x4) membentuk "Lintasan Diskontinyu" sehingga dapat dikatakan bahwa "tidak semua petak-petak yang ada pada papan itu dapat dijadikan sebagai petak Start". Dari "Buku Pintar" yang saya buat tahun 1976 lalu, dapat dicatat sebagai kesimpulan sebagai berikut :

• Solusi ada jika petak Start berada di baris-1 dan baris-4 saja. Dan, ternyata petak Finsih  berada di baris-1 dan baris-4 pula.
• Warna petak Start beda dengan warna petak Finish. Jika Start dari petak-Biru, akan Finish dipetak Putih. Contoh : Start dari petak a1, akan Finish di petak-petak : b1, d1, f1, h1, a4, c4, e4, atau g4. (Ada 8 petak Finish). Lihat gambar berikut :
  
• Angka-angka petak yang tertera pada gambar diatas adalah Jejak Langkah Kuda yang dimainkan disini. Angka-angka tsb membentuk Pola yang teratur. Pola yang teratur itu sebagai pertanda bahwa Ada Solusi. Pola yang dimaksud adalah :  
  
  
  Disini, angka-angka telah bersusun, yaitu : 1 dan 10, 2 dan 9, 8 dan 11 dan seterusnya. Bersusun "Atas-Bawah". Inilah Syarat Utama agar ada solusi Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x4). Kalau tidak bersusun demikian, sudah dipastikan Tidak Ada Solusi. Perhatikan gambar berikut, diberikan Pola yang tidak memberikan Solusi : 



Klik gambar untuk Zoom.

Baiklah saya lanjutkan Jejak Langkah Kuda yang sudah melangkah sampai ke petak no.16 (gbr.2 diatas) sebagai berikut : 

Selamat bermain. Semoga jumpa kita kali ini bisa bermanfaat.
Sampai Jumpa. Wassalam.