Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib | Lanjutan

Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan catur yang berukuran (8x8), yang disajikan sebelum ini, merupakan jejak langkah kuda-catur yang "cukup unik". Angka-angka yang "menandai langkah" kuda, jika dijumlahkan secara mendatar hasil sama dengan 260 disetiap barisnya. Demikian pula, jika dijumlahkan secara menurun hasilnya sama dengan 260 disetiap kolomnya. Hal ini telah ditunjukkan melalui gambar-1 s/d gambar-4 pada postingan sebelum ini. Hanya saja, angka-angka langkah kuda pada gambar-4, sengaja saya tidak lengkapi dengan harapan rekan-rekanlah yang dapat melengkapinya. Coba dilihat kembali post tersebut, dan tentukanlah petak-petak untuk langkah ke-33 s/d langkah ke-48. Setelah itu, cocokkanlah "hasilnya" dengan yang berikut ini : 

Berikut ini, gambar-5 pada post yang lalu, akan disajikan kembali untuk menjelaskan JEJAKA-AJAIBnya. (Jejaka = Jejak Langkah Kuda). Mengingat gambar tersebut tidak memperlihatkan Jejaka-Ajaib. Semoga membantu rekan-rekan yang mengikuti Blog ini. 
Gambar-5 pada post yang lalu akan menjadi seperti berikut ini : 

                                                                        

Bagaimana ? Apakah info ini sudah bisa memberikan "gambaran" yang jelas ? Silakan berikan komentarnya.

Kalo demikian, dicukupkan hingga disini dulu. Dilanjutkan pada kesempatan berikutnya.

Wassalam.

Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu dapat membentuk Lintasan Kontinyu (disebut juga : Siklus Hamilton, atau Closed Knight's Tour), dan dapat juga membentuk Lintasan Diskontinyu (disebut juga : Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1. Untuk petak Finish ditandai dengan angka yang sama bilangannya dengan jumlah petak pada papan permainan. Pada papan (8x8), dipakai "angka 64" untuk menandai petak Finish (sebab : 8x8 = 64). Dengan demikian, pada papan (8x8) dipakai angka 1 sampai angka 64 untuk menandai petak-petak yang dikunjungi oleh Kuda Catur sebagai rangkaian perjalanannya berkelana diatas papan.
Bila diamati, dari sekian banyak Solusi Perjalanan Langkah Kuda diatas papan tersebut, terdapat minimal 120 Solusi yang mengahsilkan Jejak Langkah Kuda "Yang Ajaib". Dikatakan Ajaib karena "angka-angka" dari Jejak Langkah Kuda menghasilkan Jumlah yang sama disetiap barisnya maupun disetiap kolomnya. Jadi, jumlah angka-angka yang mendatar sama dengan jumlah angka-angka yang menurun. 
Beriku ini akan ditunjukkan Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan yang berukuran (8x8). Pada gambar-1, perjalanan Kuda dimulai dari petak-a1 dan berahir di petak-c8. Dapat dilihat bahwa angka-angka langkah kuda, baik yang mendatar maupun yang menurun, jumlahnya sama, masing-masing berjumlah 260. Angka ini (yaitu 260) disebut saja sebagai "Angka Ajaib".

Pada gambar-2, perjalanan Kuda tetap berawal Start dari petak-a1 namun petak Finishnya di petak-h3. Berbeda dengan yang ditunjukkan pada gambar-1. Coba perhatikan baik-baik.
Pada gambar-3, perjalanan langkah kuda dimulai Start dari petak-b1 dan berahir di petak-c8.
Pada gambar-4 berikut ini, petak-c1 dijadikan sebagai petak Start dan petak-a8 sebagai petak Finish.
Selanjutnya, jika langkah kuda Start dari petak-d1, ditunjukkan pada gambar-5 dan gambar-6.

Angka-angka yang diletakkan disisi kanan dan disisi atas papan (8x8), diluar garis papan-permainan, adalah angka-angka yang menyatakan "Jumlah angka-angka" pada setiap barisnya dan disetiap kolomnya.

Angka ajaib (=260) diperoleh dengan cara sebagai berikut :

• Jumlah angka-angka :  1 + 2 + 3 + .... + 64 = 2080. Bisa juga dihitung cepat : 65 x 32 = 2080. (Artinya : 64 + 1 = 65, 63 + 2 = 65, 62 +3 = 65, 61 + 4 = 65, ........ , ........ , .... dan seterusnya, sampai 33 + 32 = 65. Jadi, ada 32 angka 65 yang diperoleh).
• 2080 dibagi 8, (angka 8 = jumlah baris papan = jumlah kolom papan), hasilnya sama dengan 260.

Sampai disini dulu jumpa kita kali ini, dilain waktu dan kesempatan akan disambung kembali. Semoga apa yang sempat disampaikan ini dapat bermanfaat.

Sampai jumpa. Wassalam.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x8)

Jejak Langkah Kuda yang terjadi pada papan (8x8) dapat membentuk Lintasan-Kontinyu dan secara otomatis dapat pula berupa Lintasan-Diskontinyu. Berikut ini akan kita coba melihat jejak langkah kuda yang membentuk Lintasan-Diskontinyu. Lihat gambar-1. Start dari petak-d1. Kuda yang dimainkan, melangkah menyusuri sisi-kiri papan permainan keatas lalu kekanan terus turun lagi sampai ke petak-c3 (langkah ke-16).

Selanjutnya, petak untuk langkah ke-17, dapat dipilih : petak-a2, petak-b1, petak-b5, ataukah petak-e2. Gambar-2 diatas. Semua petak-petak yang dapat dikunjungi oleh kuda, sebagai langkah ke-17, dapat memberikan solusi. Lihat gambar-3 s/d gambar-6 berikut ini :

Dari gambar-3 s/d gambar-6 yang diberikan diatas, dari langkah-kuda ke-32 sudah dapat dilanjutkan ke langkah kuda yang ke-33 sampai ke langkah-64 (Finish). Contohnya, lihat gambar-7 dan gambar-8 dibawah ini.  Jejak langkah kuda yang terjadi disini membentuk Lintasan-Diskontinyu.

Masih banyak contoh-contoh yang lainnya, tidak memungkinkan untuk dimuat disini karena keterbatasan waktu dan halaman. Nanti pada kesempatan yang akan datang, akan disajikan lagi disini. Namun, sebelum itu, ada yang menarik untuk diperhatikan pada gambar-7 diatas. Sekiranya langkah ke-58, tidak ke petak-e3 tetapi ke petak-a3, maka 59b1, 60d2, 61f1, 62h2, 63g4, 64e3 (Finish). Sehingga dengan demikian terjadi "Lintasan-Kontinyu". Lihat gambar-9 berikut ini : 
 

Sebelum berpisah, untuk kembali bertemu pada pembahasan berikutnya, diberikan Solusi Jejak Langkah Kuda seperti pada gambar-10 dan gambar-11 berikut ini.  Disini, papan (8x8) dipandang sebagai gabungan papan (5x8) dan papan (3x8). Langkah kuda dari petak Start (langkah ke-1) sampai langkah ke-40, berada pada papan (5x8). Langkah ini dapat dibuat Kontinyu ataupun diskontinyu. Perhatikan : 1e1 dan 40d3 yang Kontinyu pada gambar-10. Sedangkan 1e1 dan 40e2 yang Diskontinyu  pada gambar-11. 

kemudian, langkah ke-41 sampai Finish (langkah ke-64) dilanjutkan ke papan (3x8). Langkah-langkah kuda yang "tetap" (tidak ada pilihan lain) dicantumkan pada gambar tersebut, dan langkah-langkah kuda yang punya alternatif tidak dicantumkan pada gambar. Misalnya, langkah ke-47 pada gambar-10, bisa ke petak f6, atau bisa juga ke petak-h6.  Untuk itu, silakan Rekan2 yang melanjutkannya sendiri. Ahirnya,  dari  contoh yang terahir diatas, dapat disimpulkan bahwa  Jejak Langkah Kuda yang terjadi menggambarkan jejak langkah kuda yang membentuk "Lintasan-Kontinyu". 

Sekian dulu, sampai nanti. Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x8)

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Tidak terasa, kita sudah sampai kebentuk Papan Permainan yang berukuran (8x8), yaitu bentuk papan yang umum dipakai oleh Pemain Catur. Papan (8x8) adalah papan yang terdiri atas 64 petak persegi, yang tersusun menjadi 8 kolom (kolom-a s/d kolom-h) dan 8 baris (baris-1 s/d baris-8). Bagaimana Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x8) ? Tentu saja akan semakin rumit dan terkadang ada beberapa buah petak yang tidak dapat dikunjungi oleh Kuda. Hal ini, disebabkan oleh karena semakin banyaknya petak-petak pada papan yang memungkinkan untuk dikunjungi oleh Kuda. Oleh karena itu, sebaiknya menggunakan beberapa metode untuk solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (8x8).

Sebelum membicarakan metode tersebut, ada baiknya kita lihat dulu gambar-1 dan gambar-2 berikut ini yang menggambarkan Jejak Langkah Kuda pada papan (8x8). Yang diperlihatkan pada gambar ini adalah salah satu dari sekian ratus (bahkan ada sekian ribu) solusi jejak langkah kuda yang dapat terjadi pada papan (8x8).

Jejak Langkah Kuda yang diperlihatkan diatas adalah jejak langkah kuda yang menyebar disepanjang sisi papan permainan berukuran (8x8). Yang terkadang menyulitkan langkah kuda pada papan ini adalah belum dikunjunginya petak-petak yang diberi tanda (?). Lihat gambar-1. Sebaiknya langkah ke-13 jangan ke petak-c1 tetapi ke petak-c5 atau ke petak-d4, yaitu kepetak yang diberi tanda (?) digambar-1, sehingga dengan demikian, petak-petak "yang harus dikunjungi" oleh Kuda pada "tahap-pertama" selesai dikunjungi semuanya. Langkah ke-1 (Start) sampai langkah ke-32 dianggap sebagai Langkah Tahap Awal atau Langkah Tahap Pertama. Perhatikan gambar-2. Jika "pola langkah kuda" sudah nampak seperti pada gambar-2, dalam hal ini, setiap "angka" langkah kuda sudah berpasang-pasangan, maka akan memudahkan kita mencari solusi langkah kuda pada papan semacam ini. Selanjutnya, langkah kuda yang ke-33 (lanjutan dari langkah ke-32) bisa ke petak-b2 atau ke petak-f2. Dengan mudahnya kuda sudah dapat menyelesaikan langkahnya hingga Finish di petak yang berwarna Putih (karena Start dari petak yang berwarna Biru).

Metode mencari solusi langkah kuda pada papan (8x8)

Ada banyak metode yang dapat dilakukan. Diantaranya adalah "metode-bedah". Yang dimaksudkan "metode-bedah" adalah membagi/memotong papan permainan menjadi papan-papan yang ukurannya lebih kecil sehingga langkah kuda yang dapat terjadi dapat dikontrol dengan mudah.

Papan permainan yang berukuran (8x8) dapat dipandang sebagai gabungan beberapa papan yang berukuran sebagai berikut :

• 2 buah papan yang berukuran (8x4), atau (4x8). Lihat gambar-3 dan gambar-4.
• 2 buah papan yang masing-masing berukuran (8x3) dan (8x5), atau (3x8) dan (5x8). Lihat gambar-5 dan gambar-6.
• 4 buah papan yang terdiri dari 2 buah papan (4x3) dan 2 buah papan (4x5). Lihat gambar-7 s/d gambar-12.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (8x8) akan terasa lebih mudah jika dilakukan sesuai dengan "Metode Bedah" ini. Sebagai contoh, solusi jejak langkah kuda seperti berikut ini :

Dan masih ada metode lainnya yang akan disajikan nanti pada post yang akan datang. Semoga apa yang sudah disajikan pada kesempatan ini dapat bermanfaat buat rekan-rekan yang sempat mengikuti permainan ini.

Sampai jumpa lagi, wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x7) | Lanjutan

Pada pembahasan yang lalu telah disajikan beberapa cara mencari Jejak Langkah Kuda pada papan (8x7). Agar bisa lebih jelas, akan kita lanjutkan pembahasan tersebut sekaligus melengkapinya.

Papan permainan kita yang berukuran (8x7), dapat "dipotong" secara Horizontal atau Vertikal sesuai keperluan/kebutuhan kita menjadi 2 bagian. Jika "dipotong" secara Horizntal, akan menjadi : Papan (8x4) dan Papan (8x3). Lihat gambar-1 dan gambar-2 berikut ini : 

Jika "dipotong" secara Vertikal akan menjadi : 

• 2 bagian, masing-masing menjadi Papan  (4x7). Lihat gambar-3.
• 1 bagian Papan (3x7) dan 1 bagian Papan (5x7). Lihat gambar-4 dan gambar-5. 

Klik gambar untuk Zoom.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada papan-papan : (3x7), (4x7), (5x7), sama saja dengan solusi jejak langkah kuda pada papan-papan : (7x3), (7x4), (7x5). Untuk itu, ada baiknya dilihat kembali "sajian" yang lalu.

Semoga Jejak Langkah Kuda yang diberikan pada gambar diatas, sudah dapat Anda teruskan.
Insya Allah, kalau tiada arak merintang, jumpa lagi besok.

Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x7)

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Papan (8x7) mempunyai 56 buah petak yang terdiri dari 28 petak Biru dan 28 petak Putih. Karena jumlah petak Biru dan petak Putih sama, maka warna petak Start pasti "beda" dengan warna petak Finish. Papan ini diperlihatkan pada gambar-1.

Jejak Langkah Kuda yang terjadi pada papan (8x7) membentuk Lintasan-Kontinyu. Karenanya, dapat pula dibuat Lintasan-Diskontinyu. Jika Kuda Start dari Petak-Biru, akan Finish di Petak-Putih. Lihat gambar-2 dan gambar-3.  

 
Pada gambar-1 diperlihatkan Papan Permainan kita yang berukuran (8x7) dan Jejak Langkah Kuda pada papan tersebut yang membentuk Lintasan-Diskontinyu. Jika langkah ke-44 ke petak-d3 (menggantikan posisi langkah ke-56) - Berarti  44d3 - seterusnya : 45c5, 46e6, 47d4, .... , maka akan Finish di petak-c2. Akibatnya, terbentuk Lintasan-Kontinyu. Perhatikan diagram langkah kudanya pada gambar-2.

Papan yang berukuran (8x7) dapat pula dipandang sebagai "2 buah Papan (4x7) yang dijadikan satu membentuk Papan (8x7). Dengan demikian, papan (8x7) dapat dibagi 2, masing-masing menjadi papan yang berukuran (4x7). Lihat gambar-3. Jejak langkah kuda, mulai dari petak Start ( 1a1 ) sampai langkah ke-28, (dalam hal ini  28d5) "berada" pada papan (4x7) yang pertama / sebelah kiri. Selanjutnya, langkah kuda diteruskan ke papan (4x7) yang kedua / sebelah kanan. Dalam hal ini, langkah ke-29 dapat menempati petak-e7 atau petak-e3 (karena 28d5). Warna petak-e7 maupun petak-e3 sebagai "tempat" langkah ke-29 (sebagai "Langkah START"pada papan (4x7) yang kedua), adalah warna Biru. Akibatnya, langkah ke-56, sebagai Langkah FINISH, pastilah warnanya "beda" dengan warna petak-e7/petak-e3, dalam hal ini langkah ke-56 pasti di PETAK-PUTIH (petak-petak : e2, e4, e6, h1, h3, h5, dan atau h7). Selanjutnya perhatikan gambar-3.

Berikut, Papan (8x7) dapat pula dipandang sebagai "gabungan papan (8x4) dan papan (8x3)" atau sebaliknya "gabungan papan (8x3) dan papan (8x4). Sehingga Solusi Jejak Langkah Kuda dapat dikerjakan sesuai ukuran papan yang diinginkan. Perhatikan gambar-4 s/d gambar-7 berikut :  

 Gambar-4 dan gambar-5 memperlihatkan "potongan" Papan (8x7) yang terdiri atas Papan (8x4) dan Papan (8x3). Langkah ke-1 (Start) sampai langkah ke-32 ada pada papan (8x4) dan langkah ke-33 sampai langkah ke-56 (Finish) berada pada papan (8x3). Disini : 1a4 seterusnya sampai 32b4. Selanjutnya, diperkenankan hanyalah 33a6 dan 33d5. Tidak diperbolehkan 33c6. Kalau 33a6 maka petak Finish (langkah ke-56) kemungkinannya pada petak-petak Biru, seperti ditunjukkan gamvar-4. Dan, kalau 33d5 maka petak Finish (langkah ke-56) kemungkinannya pada petak-petak Biru seperti yang ditunjukkan gambar-5.

Gambar-6 dan gambar-7 memperlihatkan "potongan" Papan (8x7) yang terdiri dari Papan (8x3) dan Papan (8x4). Langkah ke-1 sampai langkah ke-24 ada pada papan (8x3) | papan bagian bawah. Seterusnya, langkah ke-25 sampai Finish (langkah ke-56) ada pada papan (8x4) | papan bagian atas.

Untuk melengkapi pemahaman kita, buka kembali "Pembahasan" yang telah disajikan pada postingan lalu ......

Hingga disini dulu jumpa kita kali ini. Sampai jumpa lagi. Insya Allah.

Wassalam.

Petak Start dan Petak Finish pada Papan Permainan.

 Setelah beristirahat sejenak, kembali kita ketemu disini. Semoga kabar baik semuanya dan tetap kita dalam kondisi kesehatan yang baik dan menggembirakan. Kalaupun ada diantara kita saat ini yang agak terganggu kesehatannya, kami doakan semoga cepat sembuh.
Berikut ini akan disajikan hubungan antara Petak Start (huruf-S) dan Petak Finish (huruf-F) dari suatu perjalanan/langkah kuda-catur diatas papan permainan sehingga dengan demikian akan memberikan gambaran yang jelas mengenai posisi petak Finish dari langkah kuda-catur yang sangat tergantung dengan posisi petak Start. Selain itu, materi yang disajikan ini diharapkan bisa menjadi rangkuman pembahasan kita yang lalu.

 

 [1]  Petak Start dan Petak Finish pada Papan (4x3) :  

 

Jejak Langkah Kuda pada papan (4x3) membentuk Lintasan-Diskontinyu sehingga tidaklah semua petak pada papan ini dapat dijadikan sebagai Petak-Start. Yang dapat dijadikan petak Start agar ada solusi, adalah petak-petak yang ada pada kolom-a dan kolom-d saja.  Lihat gambar dibawah. Simbol S adalah Petak-Start dan F adalah petak-Finish. Mohon dihapal hal ini.

 

  

[2]  Petak Start dan Petak Finish pada Papan (7x3) :

Seperti halnya diatas, jejak langkah kuda pada papan (7x3) juga membentuk Lintasan-Diskontinyu. demikian sehingga petak-petak yang dapat dijadikan sebagai petak-Start hanyalah petak-petak yang berwarna Biru, - kecuali petak Biru -d2,  (karena petak Biru yang terbanyak disini, ada 11 petak). Tidak ada solusi jika Start dari petak yang berwarna Putih dan petak Biru d2. Mari kita lihat Petak-Start dan Petak-Finish pada papan ini (disini, ada 11 buah petak Biru dan 10 buah petak Putih) : 

 
Petak Finish selalu di b2 atau f2 jika start dari petak-petak sisi papan (petak Biru di baris-1 dan baris-3). Dan, kalau Start dipetak b2, akan Finish di petak-petak Biru sisi-papan atau dipetak f2. Sebaliknya, kalau Start di petak f2, akan Finish di petak b2 atau dipetak-petak Biru yang ada disisi papan.
Yang perlu pula diingat disini : Warna petak Start selalu sama dengan warna petak Finish. Petak d2 tidak pernah menjadi petak Finish dan jangan dijadikan petak d2 menjadi petak Start. 

[3]  Petak Start dan Petak Finish pada Papan (8x3) :

Pada papan ini, Jumlah petak Biru sama dengan jumlah petak Putih. Akibatnya, Warna petak Start pasti beda dengan warna petak Finish. Jejak Langkah Kuda yang dapat terjadi membentuk Lintasan-Diskontinyu, sehingga ada petak-petak tertentu pada papan ini tidak boleh dijadikan sebagai petak Start. Dan ternyata bahwa petak yang tidak boleh dijadikan sebagai petak Start itu, tak-pernah pula menjadi petak Finish. (?).
Catat : Semua petak pada papan (8x3) dapat dijadikan sebagai petak Start, kecuali petak c2 dan f2.

Berikut ini, akan diperlihatkan posisi petak Start dan petak Finish dari Jejak Langkah Kuda pada papan (8x3) : 

                                                    (^ klik gambar untuk zoom ^ )

 

Semoga posisi petak Start dan posisi petak Finish yang sudah disajikan diatas dapat dihapal "baik-baik" untuk memudahkan penggunaannya mencari solusi jejak langkah kuda pada papan-papan permainan kita yang lebih besar ukurannya, seperti pada papan (8x6) sampai berukuran (10x10) atau lebih.

Sampai disini dulu kawan-kawan ........ Sampai Jumpa.

Wassalam.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada Papan (6x4) | Lanjutan.

Untuk mencari solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (8x6) terkadang dibutuhkan "metode-bedah" sebagaimana yang telah disampaikan disini beberapa hari yang lalu. Kalau papan (8x6) dipandang sebagai 2 buah papan (4x6) yang disatukan (didempetkan), maka dapatlah kita menemukan Solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (8x6) dengan "bantuan" solusi jejak langkah kuda pada papan (4x6).

Sebetulnya, jejak langkah kuda pada papan (4x6) atau (6x4) telah disajikan disini (Posting dibulan kemarin). Namun demikian, dirasa perlu untuk disajikan kembali dan melengkapinya, sehingga dengan demikian, permainan ini akan semakin "menarik dan mengasyikkan".

Solusi jejak langkah kuda pada papan (6x4) dapat ditemukan jika "pola langkah kuda" yang terjadi diatas papan itu membentuk "pola bersusun" seperti nampak pada gambar-1. Disini, dijadikan petak b1 sebagai petak Start. Sekiranya langkah kuda ini diteruskan, akan Finish di petak-petak Biru yang ada di baris-1 dan baris-4 (yaitu : a1, b4, c1, d4, e1, atau f4).
Kalau pola langkah kuda yang terjadi, membentuk "pola berderet" seperti nampak pada gambar-2, tidak akan ditemukan solusinya. Perhatikan posisi langkah ke-5, menempati petak yang salah. Tandingkan dengan langkah yang sama pada gambar-1. Silakan anda teruskan langkah kuda pada gambar ini.

Pada gambar-3, petak a1 dijadikan sebagai petak Start. Dengan pola yang sudah bersusun, seperti gambar, maka solusinya pasti ada, dan petak Finish dari jejak langkah kuda ini ada dipetak : a4, b1, c4, d1, e4, atau f1. Jadi, petak Finish itu adalah semua petak Putih (karena Start dipetak Biru) yang ada di baris-1 dan baris-4 saja.

Berikut, akan kita lihat Langkah Kuda yang terjadi jika Start dari petak c1 (petak Biru). Ternyata, petak Finishnya tidak dapat menempati petak c1 dan d1, hanya dipetak-petak : a4, b1, e4, dan f1 saja. 

Perlu dicatat bahwa langkah ke-2 (no.2) hanya boleh ke a2, b3, dan e2. Jika 2d3 (artinya: langkah ke-2 kepetak d3) maka Tidak Ada Solusi untuk Jejak langkah Kuda itu.
Kita lihat Solusi yang lain, jika Start dari petak c1. Ikuti langkah-langkah kuda pada gambar berikut :

Demikianlah hal-hal yang dirasa perlu untuk Solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (6x4) yang dapat membantu kita menyelesaikan jejak langkah kuda pada papan (8x6). Yang perlu juga mendapat perhatian khusus adalah Jejak Langkah Kuda pada papan (4x3), (7x3) dan (8x3). Semuanya sudah disajikan disini beberapa minggu lalu. Silakan dicek kembali.

Hingga disini dulu jumpa kita. Disambung lagi pada pertemuan mendatang. Insya Allah.

Wassalam. Sampai jumpa.

Solusi Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x6)

Sebagaimana yang telah disajikan disini, papan permainan langkah kuda (disingkat "pelaku") yang berukuran (8x6) dapat dipandang sebagai papan (catur) yang terdiri dari : 

1. 2 (dua) bahagian papan (8x3) yang digabung jadi satu (gambar-1).
2. 4 (empat) bahagian papan (4x3) yang digabung jadi satu (gambar-2).
3. 2 (dua) bahagian papan (4x6) atau (6x4) yang digabung jadi satu (gambar-3).

Dengan demikian, untuk mencari solusi Jejak Langkah Kuda pada papan (8x6) dapat diterapkan solusi jejak langkah kuda pada papan (4x3), (8x3) dan ((6x4). 
 

 Gambar-1 : Papan (8x6) dipandang sebagai 2 papan (8x3) sehingga Jejak Langkah Kuda mulai dari 1a1 sampai 24a2 pada papan (8x3) yang pertama (bagian-bawah), selajutnya 25b4 hingga Finish pada papan (8x3) yang kedua (bagian-atas). Petak Finish dalam hal ini ada 7 kemungkinan, yaitu : a4, b5, e4, e6, g4, g6, atau h5.

Gambar-2 : Papan (8x6) dipandang sebagai 4 papan (4x3) sehingga Jejak Langkah Kuda mulai dari 1a1 atau 1d2 sampai 12d3 pada papan (4x3) yang "pertama" (kiri-bawah), selanjutnya ke papan (4x3) yang "ketiga" (kanan-atas), dilanjutkan ke papan (4x3) yang "keempat" (kiri-atas), dan Jejak Langkah Kuda berahir dipapan (4x3) yang "kedua" (kanan-bawah). Dalam hal ini, kita bisa memilih petak Finish di e2 atau di h1.

Gambar-3 : Papan (8x6) dipandang sebagai 2 papan (4x6) sehingga setengah perjalanan langkah kuda berada dipapan (4x6) yang pertama (kiri), dan setengah perjalanan kuda selanjutnya diteruskan ke papan (4x6) yang kedua (kanan). Contoh yang diberikan disini, adalah jejak langkah kuda yang membentuk Lintasan-Kontinyu.

Sampai disini dulu jumpa kita kali ini. Semoga bermanfaat. Sampai jumpa.

Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x6)

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Papan (8x6) adalah papan (catur) yang memuat 48 buah petak persegi yang disusun menjadi 8 kolom (kolom a s/d kolom h) dan 6 baris (baris 1 s/d baris 6). Yang digunakan disini, ada 24 buah petak Biru dan 24 buah petak Putih. Lihat gambar-1.

Jumlah petak Biru sama denga jumlah petak Putih, akibatnya warna petak Start beda dengan warna petak Finish. Jejak Langkah Kuda yang terjadi disini membentuk Lintasan-Kontinyu. Karenanya, semua petak dapat digunakan sebagai petak Start.
Pada gambar-2, diperlihatkan jejak langkah kuda yang terjadi jika Kuda Start dari petak a1  dan Finish dipetak c2. (Membentuk Lintasan-Kontinyu). Jejak langkah kuda yang diperlihatkan itu, merupakan salah satu dari sekian banyak solusi yang ada. Bisa Anda coba yang lainnya, termasuk jejak langkah kuda yang membentuk Lintasan-Diskontinyu pada papan ini. Berikut, diperlihatkan lintasan kontinyu yang terjadi pada papan (8x6). Tandingkan dengan gambar-2 diatas.

Ada yang cukup menarik pada papan (8x6) untuk dianalisa sebagai cara mencari solusi langkah kuda yang dapat terjadi. Dalam hal ini, papan (8x6) dapat di"bedah" menjadi 2 bahagian papan (8x3), atau bahkan dapat di"bedah" menjadi 4 bahagian papan (4x3). Selain itu, dapat pula di"bedah" menjadi 2 bahagian papan (6x4). Perhatikan gambar berikut :

Dengan demikian, untuk mencari solusi langkah kuda pada papan (8x6) dapat diterapkan solusi langkah kuda yang terjadi pada papan (4x3) ataupun solusi papan (8x3). Selain itu, papan (8x6) dapat pula dipandang sebagai 2 bahagian papan (4x6). Untuk mengetahui solusi pada papan (4x3), papan (4x6) atau (6x4) dan pada papan (8x3), dapat dilihat pembahasan kita yang dipublikasikan disini bulan Februari yang lalu, dan nanti akan diulang pembahasannya pada pertemuan kita mendatang.

Sampai disini dulu jumpa kita kali ini, Esok disambung kembali. Insya Allah.

Wassalam.

Lintasan-Kontinyu pada Papan (8x5)

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Pada pembahasan yang lalu telah disampaikan bahwa Jejak Langkah Kuda yang dapat terjadi pada Papan (8x5) merupakan jejak yang membentuk Lintasan-Kontinyu. Namun, contoh gaambar yang ditampilkan adalah jejak yang membentuk Lintasan-Diskontinyu. Memang begitulah jejak langkah kuda yang terjadi, jika jejak itu dapat membentuk Lintasan-Kontinyu, maka akan secara otomatis dapat pula membentuk Lintasan-Diskontinyu. Sebaliknya, jika jejak itu hanya membentuk Lintasan-Diskontinyu, maka tidaklah mungkin membentuk Lintasan-Kontinyu.

Jejak Langkah Kuda yang membentuk Lintasan-Kontinyu pada papan (8x5), akan diberikan contohnya memalui gambar-gambar berikut ini. Pada gambar tersebut, kuda (catur) Start dari petak a1 (petak-sudut). Karena lintasannya adalah Kontinyu, maka tentu harus Finish di petak-b3 atau di petak-c2. Jika jejak kuda itu Finish di petak-b3 (dalam hal ini = 40b3), tentu lintasan jejak kuda itu digambakan seperti pada gambar-1. Angka-angka jejak kuda pada petak yang dilewati, yang tertera pada gambar ini, adalah "Sudah Pasti". Tidak ada pilihan lain.
Kemudian,  jika jejak kuda itu Finish di petak-c2, maka angka-angka jejaknya dapat dilihat pada gambar-2. Disini, petak yang dapat dijejaki kuda sebagai langkah ke-39 punya 5 kemungkin, yaitu dipetak-petak : a3, b4, d4, e3, atau e1. Tentu saja, untuk menemukan semua solusi sesuai kemungkinan tersebut membutuhkan "perhatian khusus" dan "waktu yang cukup".

Pada gambar berikut ini, akan deberikan Jejak Langkah Kuda yang lengkap mulai dari 1a1 dan 40b3 serta 1a1 dan 40c2. Masih banyak yang lainnya bisa kita buat. Silakan anda melanjutkannya.

Demikian jumpa kita kali ini. Semoga bermanfaat dan sampai jumpa lagi. Insya Allah.

Wassalam.

Jejak Langkah Kuda pada Papan (7x5) dan (8x5)

Pada kesempatan ini, akan kita tinjau Jejak Langkah Kuda yang terjadi pada papan berukuran (7x5) dan (8x5), yaitu papan (catur) yang memuat 35 dan 40 petak-petak persegi. Untuk lebih jelasnya, akan diuraikan sebagai berikut :

[1]  Jejak Langkah Kuda pada Papan (7x5) :

Papan (7x5) memuat 35 petak-petak persegi dan disusun menjadi 7 kolom (kolom-a s/dkolom-g)  dan 5 baris (baris-1 s/d baris-5). Disini, ada 18 petak berwarna Biru dan 17 petak berwarna Putih. Akibatnya : Warna petak Start sama dengan warna petak Finish, yaitu "Petak Biru" (karena petak Biru yang banyak). Lihat gambar berikut :

Klik gambar untuk Zoom.  

Jejak Langkah Kuda yang terjadi pada papan (7x5) membentuk Lintasan-Diskontinyu. Solusi ada jika Start dari petak Biru saja. Jadi, Finish pun hanya dipetak Biru saja.
Apakah ada Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan ini ? Berapa "Angka-Ajaib" itu ?

[2]  Jejak Langkah Kuda pada Papan (8x5) : 

Papan (8x5) memuat 40 petak-petak persegi, masing-masing 20 petak Biru dan 20 petak Putih yang disusun menjadi 8 kolom (kolom-a s/d kolom-h) dan 5 baris (baris-1 s/d baris-5). Karena jumlah petak Biru sama dengan jumlah petak Putih maka warna petak Start sudah pasti beda dengan warna petak Finish. Perhatikan gambar berikut ini :  

Dari gambar diatas nampak bahwa Jejak Langkah Kuda yang terjadi pada papan (8x5) membentuk Lintasan-Kontinyu sehingga dengan demikian petak Start dapat dipilih dipetak mana saja yang ada pada papan tersebut. Jika Start dari petak a1 akan Finish dipetak-petak Putih papan tersebut (berarti ada 20 petak sebagai petak Finish). Sebagai contoh : 1a1 s/d 40e4 pada gambar-kedua diatas | 1a1 = Start dan 40e4 = Finish. 

Perlu pula dicatat bahwa Jejak Langkah Kuda pada papan (8x5) dapat dicari Solusinya melalui beberapa cara atau metode. Diantara adalah dengan "Metode Pembedahan". Maksudnya : Papan (8x5) tersebut  di"bedah" menjadi dua bagian papan, masing-masing menjadi papan (5x4), sehingga solusinya sama dengan solusi pada papan (5x4) dan dikerjakan secara serempak (tak-terpisahkan). 

Pembahasan mengenai "Metode Pembedahan" tersebut membutuhkan waktu agak panjang. Untuk itu, akan kita lanjutkan pada kesempatan berikutnya. Insya Allah. 

Sampai jumpa. Wassalam. 

Jejak Langkah Kuda pada Papan (6x5) | Lanjutan

Jejak Langkah Kuda pada papan catur adalah rangkaian perjalanan kuda-catur diatas papan catur sehingga seluruh petak yang ada pada papan tersebut terlewati oleh kuda-catur tepat satu-kali. Jejak itu membentuk Lintasan Kontinyu (Siklus Hamilton,Closed Knight's Tour), atau bisa juga Diskontinyu (Lintasan Hamilton atau Open Knight's Tour). Urutan jejak langkah kuda ditandai dengan angka-angka berurut mulai dari petak Start sampai ke petak Finish. Untuk petak Start ditandai dengan angka- 1.

Pada pembahasan yang lalu, telah dinyatakan bahwa Jejak Langkah Kuda pada papan (6x5) membentuk Lintasan-Kontinyu (disebut juga : Siklus Hamilton atau Closed Knight's Tour | disingkat Knight's Tour saja). Namun, gambar yang ditampilkan memperlihatkan Lintasan-Diskontinyu (Lintasan Hamilton, Open Knight's Tour | disingkat: Knight's Move). Hal itu dimaksudkan agar Rekan-Rekan yang mengikutinya dapat MENCOBA SENDIRI bagaimana MENEMUKAN Lintasan-Kontinyu yang dimaksud.

Baik kalau demikian. Pada gambar-pertama berikut ini, ada 6 (enam) gambar yang memperlihatkan Jejak Langkah Kuda pada papan (6x5) yang membentuk Lintasan-Kontinyu. Kalaupun "beda" dengan apa yang telah Rekan-Rekan temukan, itu berarti bahwa memang ada "banyak-solusi" untuk kasus ini. Mari kita perhatikan : 

 Dan pada gambar-kedua berikut ini, diperlihatkan Lintasan-Kontinyu yang lainnya (dari sekian banyak solusi yang ada). Coba perhatikan :

Yang membedakan gambar-2 dan gambar-3 (pada "gambar-kedua" diatas) adalah posisi petak no.22 yang bertukar dengan petak no.26 (akibatnya petak no.23 dan no.25 juga bertukar secara otomatis, sedang petak no.24, tetap).

Kemudian, muncul pertanyaan : Apakah akan terjadi Jejak Langkah Kuda Yang Ajaib pada papan (6x5) sebagaimana yang terjadi pada papan yang lainnya ? (Lihat pembahasan yang lalu). Akan kita bahas dan uraikan disini pada episode yang akan datang. Insya Allah. 

Demikian jumpa kita kali ini. Semoga bermanfaat. Sampai Jumpa. Eng....Ing....Eng .....#.

Wassalam.